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Etude d'une fonction et mise en évidence de 2 suites avec l'environnement Casyopée


Présentation

Le contexte

L'activité a été testée en classe de Terminale S. Les élèves ne sont pas familiés avec l'environnement Casyopée mais ont déjà fait des expérimentations avec un logiciel de géométrie dynamique et un logiciel de calcul formel.

Le texte de l'activité : il est tiré d'un des textes de la banque d'exercices 2009 pour l'épreuve expérimentale en TS.

 

 

 

Les objectifs

  • expérimenter avec un nouvel environnement logiciel
  • réinvestir des savoir faire issus de l'utilisation d'autres logiciels
  • émettre des conjectures
  • s'aider d'un logiciel disposant d'un module de calcul formel dans la résolution de problème
  • prendre des initiatives dans l'étude d'une fonction sans questions intermédiaires
  • approfondir la connaissance des élèves dans le domaine des TICE 

  

Les particularités de l'activité

  • les conjectures ne sont pas simples à obtenir et demandent une exploration réfléchie à l'aide du logiciel
  • des capacités d'adaptation à un nouvel outil logiciel sont à mobiliser
  • l'utilisation du logiciel en classe entière favorise le questionnement collectif et le débat de classe
  • un devoir maison prolonge la séance en classe.

 

Scénario, dispositif et commentaires

 L'activité a été proposée classe entière dans une salle équipée d'un TBI. L'environnement Casyopée est ouvert.

 

Exploration de la fonction – Conjectures

Pour émettre des conjectures, les élèves proposent d'abord d'obtenir la courbe représentative de la fonction.
Le professeur introduit l'expression dans Casyopée.
Le logiciel invite les élèves à proposer un ensemble de définition pour cette fonction.

Les élèves sont surpris car ils n'ont jamais rencontré ce type de demande de la part d'un logiciel (calculatrice, GéoGebra, WxMaxima). Même si la recherche d'un ensemble de définition n'est pas un objectif du programme, ce travail est apparu formateur.
Les élèves recherchent alors sur feuille l'ensemble de définition. Certains pensent à résoudre préalablement l'équation (2ln x + 1)² = 0 (deux méthodes sont mises en évidence) et écartent la valeur exp(-0,5)de l'ensemble de définition ; d'autres proposent  pour ensemble de définition l'ensemble des réels strictement positifs

Après débat dans la classe, les élèves proposent R+* \ {exp(-0,5)}.
Le professeur introduit au niveau du logiciel deux valeurs 0 et exp(-0,5) puis introduit l'expression en précisant les intervalles sur lesquelles la fonction est définie

Le logiciel propose le même message que précedemment (incertitude sur l'ensemble de définition)
Le professeur demande aux élèves le degré de confiance qu'ils ont en leurs calculs.
Les élèves confirment leur choix.


Le professeur demande au logiciel l'affichage de la courbe de f.


Les élèves notent sur feuille les conjectures sur la fonction (variations, limites).
Le professeur synthétise au tableau.


Un élève signale le crochet ouvert en 0 au niveau de la courbe (nouveauté du logiciel).
Les élèves ont des difficultés à conjecturer la limite en + ∞ et différentes propositions sont émises.


A la demande des élèves, le professeur pilote modifie les paramètres de la fenêtre graphique donnée initialement par le logiciel.
Un élève signale que peut être la fonction n'est pas décroissante sur ]exp(-0,5);+ ∞ [.
Les élèves demandent en plus au logiciel une tabulation de valeurs.
Les élèves revoient leurs conjectures.
Il est intéressant de noter que la lecture graphique des variations de la fonction à étudier ne s'obtient qu'après un fenêtrage réfléchi.

Le calcul de limites est volontairement laissé de côté durant cette phase.



Preuve des conjectures
Les élèves demandent au logiciel le calcul de la dérivée. Ils demandent au logiciel des transformations pour aider à l'étude de son signe  : réduction au même dénominateur,  factorisation...

Le professeur demande aux élèves de valider sur feuille la dernière expression trouvée.
Les élèves étudient sur feuille le signe de et obtiennent les variations de f.
le professeur introduit au niveau du logiciel la valeur exp(1,5) et demande au logiciel son image par f.
le professeur demande aux élèves de simplifier la forme de la valeur fournie par le logiciel.

 

Mise en évidence de deux suites

Les élèves proposent d'introduire, pour m, un curseur (vocabulaire issu d'une pratique avec GeoGebra).
Le professeur demande au logiciel l'introduction d'un paramètre nommé m entier naturel strictement positif.
Il demande aux élèves de donner une procédure pour répondre à la question. Ils proposent de demander au logiciel de résoudre l'équation .
Le professeur crée au niveau du logiciel l'équation puis demande sa résolution.

La séance se termine sur ce dernier écran. 
Le jour suivant un devoir maison est distribué :

  • il propose aux élèves de démontrer les résultats conjecturés au niveau des limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.
  • il redonne l'image du dernier écran obtenu avec le logiciel (voir plus haut) et propose l'étude des deux suites.

 

Texte du devoir maison

La séance enregistrée avec le TBI

 

 

 

 

Apport du calcul formel et de l'environnement Casyopée

En soulageant l'élève des techniques de calcul,

  • il favorise les prises d'initiatives dans les démarches d'investigation et de preuve

  • il rend facile des calculs complexes

  • il participe à la compréhension des différentes écritures algébriques.

Il donne du sens aux différents statuts des lettres (variables, inconnues, paramètres).

Il favorise les changements de cadres : graphique, numérique, algébrique.

L'environnement Casyopée favorise le débat collectif en s'appuyant sur les questions-réponses propres à ce logiciel.