Première partie : Construction
Les élèves réalisent la construction géométrique dans la fenêtre de géométrie dynamique de Casyopée.
Ecran Casyopée construction géométrique
Deuxième partie: étude du cas particulier où a=5
Conjecture
Ayant créé le calcul géométrique de l'aire du triangle IMN, les élèves explorent numériquement les variations de l'aire en déplaçant le point M. Ils peuvent observer que l'aire semble maximale lorsque M est en O ou au milieu de [OA].
Ecran Casyopée calcul géométrique
Modélisation avec Casyopée en vue d'une justification
La particularité de Casyopée est d'établir un lien entre géométrie dynamique et domaine algébrique. Dans le problème posé, l'aire étant « fonction » de la figure, l'environnement va aider les élèves à expliciter cette dépendance sous forme d'une fonction.
Ils vont avoir à choisir la variable servant à la modélisation, par exemple l'abscisse de M ou bien encore la distance AM. L'observation en classe montre que cette tâche n'a rien d'évident pour eux et s'avère un point fondamental de la démarche de modélisation.
Ecran Casyopée choix de la variable
Pour un calcul géométrique sélectionné, l'environnement détermine alors la fonction géométrique. Si les élèves sont alors déchargés de l'étape de la modélisation amenant à l'expression algébrique, rien n'empêche que cette tâche leur soit demandée à l'issue du problème.
Ecran Casyopée exportation fonction géométrique
La fonction générée par Casyopée peut alors être exportée et pour être étudiée dans la fenêtre algébrique.
Étude de la fonction dans la fenêtre algébrique de Casyopée
Les élèves ont accès à des outils d'exploration (représentation graphique, table de valeurs, ….), aux commandes usuelles de calcul symbolique (développement, factorisation, dérivées, zéros), ainsi qu'à un solveur d'équations.
Il peuvent ainsi s'aider de ces outils pour étudier les variations de la fonction et valider ainsi leur conjecture. Comme il leur est précisé, ils doivent rédiger leur étude au papier/crayon.
Ecran Casyopée calcul symbolique
Ils peuvent enfin visualiser la solution dans la fenêtre géométrique.
Ecran Casyopée visualisation de la solution
Troisième partie : vers une généralisation
Étude de cas
Dans cette phase, il s'agit de tendre à la généralisation en étudiant l'aire pour différentes valeurs de a.
En pilotant le paramètre a, les élèves peuvent observer plusieurs allures de courbes, par exemple :
Étude du cas général
En se situant dans un cadre purement algébrique, les élèves étudient la fonction pour une valeur quelconque de a.
L'utilisation du calcul formel peut les aider à étudier le signe de la dérivée a :
Leur travail est alors centré sur l'interprétation des réponses (ou des non réponses) apportées par le calcul formel : Ils doivent lier l'étude de cas à l'existence des racines de f '(x), comprendre l'impossibilité du calcul formel de calculer son expression factorisée et justifier ainsi les différents cas.
