carte départements Finistère Côtes d'Armor Morbihan Ille-et-Vilaine Finistère Côtes d'armor Morbihan Ille-et-Vilaine

Aire maximale d'un triangle


Présentation

Le contexte

 Cette activité a été menée en classe de terminale S, en début d'année. Une majorité des élèves connaissait l'environnement Casyopée, l'ayant utilisé en 1ère lors de séances en salle informatique.

La fiche élève  

 

Dans un repère orthonormal de centre O, on considère les points A(10;0) et I(0;a) où a est un paramètre positif, ainsi que la demi droite [Ax) parallèle à l’axe des ordonnées.
M est un point variable du segment [OA].
On construit le triangle IMN rectangle en M, avec N appartenant à [Ax).

Le but de l'activité de déterminer s'il existe des positions du point M telle que cette aire soit maximale.

 

 
Les objectifs

  • réaliser une figure adaptée au problème posé dans la fenêtre de géométrie dynamique de Casyopée

  • expérimenter sur une situation de dépendance fonctionnelle

  • émettre des conjectures en explorant numériquemement des variations de mesures

  • réfléchir à la modélisation de la situation par le choix d'une variable

  • exporter une fonction géométrique dans la fenêtre de calcul symbolique

  • s'aider d'un logiciel de calcul formel dans la résolution du problème pour une valeur du paramètre

  • exploiter les possibilités supplémentaires du logiciel pour généraliser l'étude

Le déroulement

Première partie : Construction

 Les élèves réalisent la construction géométrique dans la fenêtre de géométrie dynamique de Casyopée. 

Ecran Casyopée construction géométrique

 


Deuxième partie: étude du cas particulier où a=5

Conjecture

Ayant créé le calcul géométrique de l'aire du triangle IMN, les élèves explorent numériquement les variations de l'aire en déplaçant le point M. Ils peuvent observer que l'aire semble maximale lorsque M est en O ou au milieu de [OA].

Ecran Casyopée calcul géométrique

Modélisation avec Casyopée en vue d'une justification

La particularité de Casyopée est d'établir un lien entre géométrie dynamique et domaine algébrique. Dans le problème posé, l'aire étant « fonction » de la figure, l'environnement va aider les élèves à expliciter cette dépendance sous forme d'une fonction.

Ils vont avoir à choisir la variable servant à la modélisation, par exemple l'abscisse de M ou bien encore la distance AM. L'observation en classe montre que cette tâche n'a rien d'évident pour eux et s'avère un point fondamental de la démarche de modélisation.

Ecran Casyopée choix de la variable

Pour un calcul géométrique sélectionné, l'environnement détermine alors la fonction géométrique. Si les élèves sont alors déchargés de l'étape de la modélisation amenant à l'expression algébrique, rien n'empêche que cette tâche leur soit demandée à l'issue du problème.

Ecran Casyopée exportation fonction géométrique

La fonction générée par Casyopée peut alors être exportée et pour être étudiée dans la fenêtre algébrique.

Étude de la fonction dans la fenêtre algébrique de Casyopée

Les élèves ont accès à des outils d'exploration (représentation graphique, table de valeurs, ….), aux commandes usuelles de calcul symbolique (développement, factorisation, dérivées, zéros), ainsi qu'à un solveur d'équations.

Il peuvent ainsi s'aider de ces outils pour étudier les variations de la fonction et valider ainsi leur conjecture. Comme il leur est précisé, ils doivent rédiger leur étude au papier/crayon.

Ecran Casyopée calcul symbolique

Ils peuvent enfin visualiser la solution dans la fenêtre géométrique.

Ecran Casyopée visualisation de la solution

Troisième partie : vers une généralisation

Étude de cas 
Dans cette phase, il s'agit de tendre à la généralisation en étudiant l'aire pour différentes valeurs de a.
En pilotant le paramètre a, les élèves peuvent observer plusieurs allures de courbes, par exemple :



Étude
du cas général

En se situant dans un cadre purement algébrique, les élèves étudient la fonction pour une valeur quelconque de a.
L'utilisation du calcul formel peut les aider à étudier le signe de la dérivée a :

Leur travail est alors centré sur l'interprétation des réponses (ou des non réponses) apportées par le calcul formel : Ils doivent lier l'étude de cas à l'existence des racines de f '(x), comprendre l'impossibilité du calcul formel de calculer son expression factorisée et justifier ainsi les différents cas.

Apport du calcul formel

En soulageant l'élève des techniques de calcul,

  • il rend facile des calculs complexes

  • il participe à la compréhension des différentes écritures algébriques

  • il favorise les prises d'initiatives dans la démarche de preuve.

 

Il donne du sens aux différents statuts des lettres (variables, inconnues, paramètres).

 

Il favorise les changements de cadres : graphique, numérique, algébrique.

Apport de Casyopée

En permettant de déterminer et relier les mesures pouvant être utilisées pour définir la fonction géométrique, il aide l'élève à modéliser la situation et favorise sa prise d'initiative en le laissant choisir la variable.

La communication entre les fenêtres de calcul symbolique et de géométrie dynamique aide à la compréhension du problème dans ses différents cadres de résolution et favorise ainsi le travail réflexif.

Le statut particulier des paramètres, que l'on peut piloter puis « dépiloter » facilite l'étude du cas général.

Evaluation

 Nous reprenons ici des éléments de la grille issue du travail de mutualisation avec les autres académies ; ils peuvent servir de base à l'évaluation.


 
M1 : Réaliser une production de qualité

L'élève a su réaliser une construction géométrique, en utilisant les outils de géométrie dynamique.
A partir de cette figure, il a su définir une fonction géométrique, l'exporter dans la fenêtre de calcul symbolique et obtenir sa représentation graphique.

M2 : Faire une recherche active

La recherche est organisée. La démarche expérimentale est dynamique et autonome. L’élève développe lui-même les outils de son expérience .
Il a créé le calcul géométrique de l'aire du triangle et exploré numériquement les variations de la mesure.
Il a su modéliser la situation et exporter le fonction géométrique.
Il a utilisé de façon pertinente les outils d'exploration de la fenêtre de calcul symbolique : représentation graphique, pilotage d'un paramètre, utilisation d'une table de valeurs.

M3 : Enoncer une conjecture

L'élève a su émettre des conjectures cohérentes avec le problème posé. Il a été capable préciser une conjecture grâce aux outils de calcul mis à disposition. Il a su distinguer le statut d'une conjecture à celui d’une propriété démontrée.

M4 : Savoir utiliser les résultats du cours

L'élève a eu une exploitation des outils de calcul formel en conformité avec les méthodes souvent utilisées en analyse.
Il a su mobiliser sa réflexion sur l'étude du signe de la dérivée.

M5 :

Rédiger une démonstration structurée

L’élève rédige un raisonnement cohérent à partir des données de l’énoncé mais qui n’aboutit pas nécessairement.
La rédaction, rigoureuse et organisée, s’appuie sur les outils du cours.
En accord avec sa recherche effectuée avec le logiciel, l'élève sait retranscrire par écrit les pas de sa démonstration, à l'aide du vocabulaire et  des notations appropriées. 

M6 :

Rédiger une démonstration complète

La démonstration a abouti même si la rédaction n’est pas rigoureuse et structurée. L’élève fait référence aux données nécessaires et a choisi les outils appropriés. Il a pu justifier l'étude du cas général en distinguant les cas suivant les valeurs du paramètre a.