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Etude d'une famille de fonctions avec l'environnement Casyopée


Présentation

Contexte

Cette étude a été menée en classe de Terminale S. Les élèves sont déjà familiarisés avec l'environnement Casyopée.

La fiche de l'activité

Le thème de l'activité est inspiré d'un exercice du livre Maths repères TermS édition 2008 : ex 62 "des maths en famille...", p116.

Les objectifs

  • définir une fonction dépendant d'un paramètre dans l'environnement Casyopée

  • émettre des conjectures en utilisant les outils d'exploration du logiciel

  • s'aider des commandes de calcul formel dans la résolution de problème

  • prendre des initiatives dans l'étude d'une fonction sans questions intermédiaires

  • rendre compte de sa recherche dans un compte rendu argumenté

 

 Les particularités de l'activité

  • questionnement ouvert permettant à l'élève de prendre des initiatives, d'émettre des conjectures, de choisir les outils mis à disposition dans l'environnemement, de mettre en oeuvre des démarches de preuve

  • Rédaction d'un compte rendu de recherche à l'issue de la séance

Le déroulement

Etude d'un cas particulier
Les élèves étudient les variations de la  fonction pour k=2. Ayant à disposition des ordinateurs, ils peuvent utiliser l'environnement casyopée pour obtenir la représentation graphique de la fonction,  vérifier leurs calculs et utiliser le module de justification de casyopée pour l'étude des variations. Ils rédigent leur étude au papier-crayon.

Etude du cas général
Il s'agit d'explorer l'allure de la courbe de la fonction pour différentes valeurs de k et conjecturer des propriétés de la fonction suivant les valeurs de k.
Dans l'environnement casyopée, les élève créent un paramètre k puis la fonction.

 


En pilotant le paramètre k et en observant la courbe représentative, ils sont amenés à distinguer plusieurs cas.

 

 

Justification
Les élèves peuvent utiliser casyopée pour les calculs et les justifications ; ils ont à rédiger un compte rendu de leur travail à l'issue de la séance.

 

Apport du calcul formel

En soulageant l'élève des techniques de calcul,

  • il favorise les prises d'initiatives dans les démarches d'investigation et de preuve

  • il rend facile des calculs complexes

  • il participe à la compréhension des différentes écritures algébriques.

 

Il donne du sens aux différents statuts des lettres (variables, inconnues, paramètres).

 

Il favorise les changements de cadres : graphique, numérique, algébrique.

Evaluation

  Nous reprenons ici des éléments de la grille issue du travail de mutualisation avec les autres académies ; ils peuvent servir de base à l'évaluation.

   

M1 : Réaliser une production de qualité

L'élève a su représenter la situation en créant une fonction dépendant d'un paramètre dans l'environnement Casyopée.

M2 : Faire une recherche active

La recherche est organisée. La démarche expérimentale est dynamique et autonome. L’élève a développé lui-même les outils de son expérience. Il a utilisé de façon pertinente les outils d'exploration de Casyopée : représentation graphique, pilotage d'un paramètre, utilisation d'une table de valeurs.

M3 : Enoncer une conjecture

L'élève a su émettre des conjectures cohérentes avec le problème posé. Il a été capable préciser une conjecture grâce aux outils de calcul mis à disposition. Il a su distinguer le statut d'une conjecture à celui d’une propriété démontrée.

M4 : Savoir utiliser les résultats du cours

L'élève a eu une exploitation du logiciel de calcul formel en conformité avec les méthodes souvent utilisées en analyse.
Il a su élaborer un schéma de démonstration en précisant les différentes étapes : étude du signe de f ' ', étude de variation de f ', signe de f ' suivant les valeurs de k.
En rentrant dans une démarche de preuve, l'élève a pu être éventuellement amené à préciser sa conjecture, la remettre en question.

M5 : Rédiger une démonstration structurée

L’élève rédige un raisonnement cohérent à partir des données de l’énoncé mais qui n’aboutit pas nécessairement.
La rédaction, rigoureuse et organisée, s’appuie sur les outils du cours.
En accord avec sa recherche effectuée avec le logiciel, l'élève sait retranscrire par écrit les pas de sa démonstration, à l'aide du vocabulaire et  des notations appropriées. 

M6 : Rédiger une démonstration complète

La démonstration a abouti même si la rédaction n’est pas rigoureuse et structurée. L’élève fait référence aux données nécessaires et a choisi les outils appropriés. Il a pu justifier l'étude du cas général.

 

Exemples de travaux d'élèves

Enoncés de conjectures

Voici quelques exemples de conjectures. Elles illustrent la variété des conjectures émises par les élèves.

Elève 1

L'élève 1 décrit l'ensemble des cas ; son travail de justification doit l'amener à préciser « la certaine valeur » qu'il mentionne dans sa conjecture.


 
Elève 2

 

L'élève 2 ne mentionne que les cas qui lui ont paru caractéristiques suite à son exploration graphique  : fonction décroissante puis croissante lorsque k0, fonction strictement croissante lorsque k est plus grand qu'une valeur.


 

 
Elève 3

  L'élève 3 fait référence à la valeur k=e-2, solution de l'équation f '(2)=0; sa recherche de conjecture ne s'est pas limitée à une exploration graphique, mais à des appels au calcul formel.


Rédactions de démonstrations

Nous présentons deux rédactions qui reflètent la qualité des Travaux des élèves et les difficultées rencontrées.

 

Rédaction 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   La démarche est cohérente, l'élève a compris que le signe de f(x) dépend de k. Il justifie correctement une de ses conjectures : lorsque k>e-2, f est croissante.
En revanche, il ne réalise pas que le signe de f'(x) dépend aussi de la limite de f' en –∞ et donc du signe de k ; il  ne justifie pas, ou alors de manière incomplète les autres conjectures.

  


 

Rédaction 2

       


La démonstration a abouti. L’élève fait référence aux données nécessaires et a choisi les outils appropriés.
En accord avec sa recherche effectuée avec le logiciel, l'élève sait retranscrire par écrit les pas de sa démonstration, à l'aide du vocabulaire et  des notations appropriées.