Groupe TraAM mathématiques 2021-2022 de l’académie de Rennes

Niveau et durée : Première générale (spécialité) ou première technologique, 1h30 à 2 h

Objectifs pédagogiques :

• Représenter une situation par un arbre pondéré de probabilités
• Arbres pondérés et calcul de probabilités : règle du produit, de la somme
• Comprendre et utiliser une simulation numérique
• Concevoir et écrire une instruction conditionnelle
• Concevoir et écrire une boucle for

Pré-requis :

• Les élèves doivent avoir travaillé sur les calculs de probabilités avec les arbres pondérées.
• Les élèves doivent être à l’aise avec l’écriture d’un programme Python, notamment les instructions conditionnelles et les boucles for.

Le plateau de jeu

La situation-problème :

Les élèves découvrent un jeu simple possédant plusieurs stratégies de jeu. Ils expérimentent les différentes stratégies en jouant. Ils doivent ensuite calculer les probabilités de réussite de chacune des stratégies : la valeur exacte en calculant à l’aide d’un arbre ou la valeur approchée en écrivant un programme qui simule un grand nombre de parties de jeu.

Déroulement :

• Partie A : Travail à faire à la maison
• Partie B : Les élèves jouent en groupe de 4 avec une stratégie différente pour chaque élève du groupe
• Partie C : Les élèves calculent la probabilité de gagner pour chaque stratégie
• Partie D : Bilan avec le professeur

La fiche élève	La traversée de la rivière - document élève	La traversée de la rivière - document élève
La fiche professeur	Traversée de la rivière - Fiche professeur	Traversée de la rivière - Fiche professeur
Le plateau de jeu	Plateau de jeu	Plateau de jeu
Les cartes stratégies	Cartes stratégies	Cartes_stratégies
L’ensemble des documents (y compris les programmes et les corrigés)	L’ensemble des documents élève	L’ensemble des documents prof

Partie A : À la maison

On lance un dé à deux faces et on calcule la somme. Les élèves calculent la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.

Partie B : Expertise d’un jeu

Les élèves jouent par petits groupes et notent le nombre de parties gagnées et le nombre de parties perdues. On peut mettre en commun les résultats de la classe.

Les quatre cartes stratégies

Partie C : Analyse mathématique des différentes stratégies

Pour les stratégies 1 et 2, on peut calculer la probabilité de gagner.

Pour les stratégies 3 et 4, on estime la probabilité de gagner à l’aide d’un grand nombre de simulations de parties.

Activité Capytale Stratégie des sauts moyens	https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/38d4-246678
Corrigé de l’activité Capytale Stratégie des sauts moyens	https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/fad0-243870
Activité Capytale Stratégie des petits sauts	https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/5ed9-246540
Corrigé de l’activité Capytale Stratégie des petits sauts	https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/84cd-238061
L’ensemble des notebook Jupiter à charger dans Capytale	Notebook Jupiter

Partie D : Expertise générale du jeu

À l’aide des calculs et des simulations, on peut déterminer laquelle des quatre stratégies est la meilleure.

Aides possibles :

• Fournir des arbres de probabilités à compléter
• Pour aider les élèves à programmer, on peut leur proposer de lire le code des fonctions Python pour petit saut et grand saut. Dans les activités en ligne Capytale, on propose aux élèves de commencer par lire et exécuter la fonction sauter() qui simule un petit saut.

Différentiation possible :

Programmer la stratégie « trois petits sauts » est plus difficile.

Prolongements possibles :

• Inventer une nouvelle stratégie avec une probabilité de gagner encore plus grande. Par exemple, on peut estimer que la stratégie « saut moyen + grand saut »aura une probabilité de gagner de 0,67.
• Proposer aux élèves de retirer un des rochers et de refaire les calculs.

Analyse du dispositif :

Les élèves ont apprécié le jeu.

Pour les calculs des probabilités (stratégies 1 et 2), les élèves ont pu travailler en binômes. Certains élèves n’ont pas réussi à modéliser la situation tous seuls. Projeter au tableau un arbre d’un camarade a aidé certains élèves.

Un exemple de modélisation

Les aides à la programmation étaient les bienvenues, et nous conseillons l’utilisation des pages Capytale pour la partie programmation. Les élèves suivant l’enseignement NSI, n’ont (en général) pas eu de difficulté dans cette partie.

Les six compétences majeures :

• Chercher

Observer, s’engager dans une démarche, expérimenter en utilisant éventuellement des outils logiciels, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation, reformuler un problème, émettre une conjecture.

• Modéliser

Utiliser, comprendre, élaborer une simulation numérique ou géométrique prenant appui sur la modélisation et utilisant un logiciel.

• Représenter

Choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique…) adapté pour traiter un problème ou pour représenter un objet mathématique.

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